Математические модели некоторых задач в строительстве. Математическое моделирование при решении научно-технических задач в строительстве Метод математического моделирования в строительстве примеры

МИНОБРНАУКИ РОССИИ

Федеральное государственное бюджетное образовательное

учреждение высшего профессионального образования

«Ижевский государственный технический университет» (ИжГТУ)

Кафедра «Промышленное и гражданское строительство»

Математическое моделирование в строительстве

Учебно-методическое пособие

УДК 69-50 (07)

Рецензент:

д.э.н., профессор Грахов В.П.

Составитель:

Математическое моделирование в строительстве. Учебно-методическое пособие / Сост. Иванова С.С. – Ижевск: Изд-во ИжГТУ, 2012. – 100 с.

Цель данного учебного пособия – ознакомить в очень сжатой и простой форме студентов строительных ВУЗов и факультетов с арсеналом основных задач, стоящих перед строителями, а также методамии моделями, способствующими прогрессу проектирования, организации и управления строительством и нашедшими широкое применение и повседневной практике.

УДК 69-50 (07)

 Иванова С.С 2012

 Издательство ИжГТУ, 2012

Введение

Обзор применения моделей в экономике

Исторический обзор
Развитие моделирования в России

Основные виды задач, решаемых при организации, планировании и управлении строительством

Задачи распределения
Задачи замены
Задачи поиска
Задачи массового обслуживания или задачи очередей
Задачи управления запасами (создание и хранение)
Задачи теории расписаний

Моделирование в строительстве

Основные положения
Виды экономико-математических моделей в области организации, планирования и управления строительством
1. Модели линейного программирования
  Нелинейные модели
  Модели динамического программирования
  Оптимизационные модели (постановка задачи оптимизации)
  Модели управления запасами
  Целочисленные модели
  Цифровое моделирование (метод перебора)
  Имитационные модели
  Вероятностно - статистические модели
  Модели теории игр
  Модели итеративного агрегирования
  Организационно-технологические модели
  Графические модели
  Сетевые модели

Организационное моделирование систем управления строительством

Основные направления моделирования систем управления строительством
Аспекты организационно-управленческих систем (моделей)
Деление организационно-управленческие моделей на группы
1. Модели первой группы
  Модели второй группы

Виды моделей первой группы

Модели принятия решений
Информационные модели коммуникационной сети
Компактные информационные модели
Интегрированные информационно-функциональные модели

Виды моделей второй группы

Модели организационно-технологических связей
Модель организационно-управленческих связей
Модель факторного статистического анализа управленческих связей
Детерминированные функциональные модели
Организационные модели массового обслуживания
Организационно-информационные модели
Основные этапы и принципы моделирования

Методы корреляционно-регрессивного анализа зависимости между факторами, включаемые в экономико-математические модели

Виды корреляционно-регрессивного анализа
Требования к факторам, включаемым в модель
Парный корреляционно-регрессивный анализ
Множественный корреляционный анализ

Отправить свою хорошую работу в базу знаний просто. Используйте форму, расположенную ниже

Студенты, аспиранты, молодые ученые, использующие базу знаний в своей учебе и работе, будут вам очень благодарны.

Размещено на http :// www . allbest . ru /

МИНОБРНАУКИ РОССИИ

Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования

«Тверской государственный технический университет»

Кафедра производства строительных изделий и конструкций

ПОЯСНИТЕЛЬНАЯ ЗАПИСКА

к курсовой работе по дисциплине «Математическое моделирование при решении научно-технических задач в строительстве»

Выполнил студент:

Акушко А.С.

Руководитель:

Новиченкова Т. Б.

1. Исходные данные

2. Определение водоцементного отношения

3. Определение водопотребности бетонной смеси

4. Определение расхода цемента и заполнителей

5. Корректировка водопотребности смеси

6. Корректировка состава бетона по фактической плотности бетонной смеси

7. Корректировка водоцементного отношения

8. Определение производственного состава бетона и количества материалов на замес бетоносмесителя

9. Построение математических моделей зависимостей свойств бетонной смеси и бетона, от его состава по результатам планированного эксперимента

Список использованной литературы

1. Исходные данные

Изделие Сваи

Марка бетона по прочности М200

Марка цемента по прочности ПЦ 550

Наибольшая крупность щебня(гравия) Щебень НК 40

Материалы, вид пластифицирующей добавки С-3

Рядовые, пластификатор

Влажность песка, Wп 1%

Влажность щебня(гравия), Wщ(г) 2%

Емкость бетоносмесителя, Vбс 750 л

2 . Определение водоцементного отношения

Водоцементное отношение определяют по формулам:

1) для обычного бетона при

2) для высокопрочного бетона < 0,4

Формулу (1) следует применять, если, в других случаях надо пользоваться формулой (2). Значения коэффициентов А и А 1 берут из таблицы 1.

Таблица 1 - Значения коэффициентов А и А 1

Рисунок 1 - Расчет водоцементного отношения

3 . Определение водопотребности бетонной смеси

Для определения водопотребности бетонной смеси вначале назначают удобоукладываемость бетонной смеси. При этом исходят из следующих соображений. Повышение жесткости бетонной смеси всегда дает экономию цемента, но требует для уплотнения более мощного формовочного оборудования или увеличения продолжительности уплотнения. Удобоукладываемость смеси ориентировочно выбирают по таблице 2 и окончательно устанавливают по результатам производственных испытаний, добиваясь применения максимально жестких для данных условий смесей.

Марка бетонной смеси	Вид изделия и метод изготовления	Удобоукладываемость
		Осадка стандартного кон уса, см	Жесткость, с
	Вибропрокат, роликовое прессование; изделия, формуемые с немедленной распалубкой.		31 и более
	Кольца канализационные, блоки целевые, пустотелые элементы перекрытий, бордюрные камни, фундаментные блоки и башмаки, формуемые на виброплощадках, роликовым прессованием и т.п.
	Колонны, сваи, балки, плиты, лестничные марши, фермы, трубы, двухслойные наружные стеновые панели, формуемые на виброплощадках.
	Тонкостенные конструкции, сильно насыщенные арматурой, формуемые на виброплощадках или в кассетных установках.

Водопотребность бетонной смеси определяют по формуле

где В - водопотребность бетонной смеси, л; Вс - водопотребность бетонной смеси, изготовленной с применением портландцемента, песка средней крупности и щебня с наибольшей крупностью 40 мм без применения пластифицирующих добавок, т; Вз - поправка на вид и крупность заполнителя, л; К - коэффициент, учитывающий вид пластифицирующей добавки (при использовании пластификаторов К = 0,9; в случае суперпластификаторов К = 0,8).

Водопотребность Вс определяют по формуле:

1) для пластичной смеси

где Y - показатель удобоукладываемости смеси (в данном случае осадка конуса, см);

2) для жесткой смеси

где Y - жесткость смеси, с (при определении настандартном приборе).

Поправку Вз определяют, исходя из следующих условий:

1) если вместо щебня с НК = 40 мм используется щебень с НК = 20 мм,

то В3 = 15 л, при НК = 10 мм - ВЗ = 30 л, а при НК = 80 мм - B З = -15 л;

2) при применении гравия вместо щебня с той же наибольшей крупностью В3 = -15 л;

3) если берут мелкий песок, то ВЗ = 10-20 л;

4) при расходе цемента свыше 450 кг/м3 ВЗ = 10-15 л;

5) при использовании пуццоланового цемента ВЗ = 15-20 л.

Рисунок 2 - Расчет водопотребности бетонной смеси

4 . Определение расхода цемента и заполнителей

Расход цемента на I м3 бетона определяется по формуле:

Если расход цемента на I м3 бетона окажется меньше допускаемого по СНиПу (см. таблицу 3), то следует увеличить его до требуемой величины Ц min .

Таблица 3 - Минимальный расход цемента Ц min для получения не расслаиваемой плотной бетонной смеси

Вид смеси	Наибольшая крупность заполнителя, мм

Особо жесткая (Ж > 20 с)
Жесткая (Ж = 10…20 с)
Малоподвижная (Ж = 5…10 с)
Подвижная (ОК = 1…I0 см)
Очень подвижная (ОК = 10…16 см)
Литая (ОК > 16 см)

Расход заполнителей на 1 м3 бетона определяют по следующим формулам:

где Щ - расход щебня, кг/м3; П - расход песка, кг/м3; В - водопотребность бетонной смеси, л/м3; - коэффициент раздвижки зерен щебня раствором; Vn - пустотность щебня; , - истинные плотности цемента, песка и щебня (в расчетах можно принимать соответственно 3,1; 2,8 и 2,65 кг/л); - насыпная плотность щебня (можно принять 1,4 кг/л).

При отсутствии данных по пустотности крупного заполнителя показатель Vn можно принять в пределах 0,42...0,45.

Коэффициент раздвижки , для жестких бетонных смесей следует применять в пределах 1,05…1,15, а для пластичных смесей - 1.25…1.40 (большие значения следует принимать при больших показателях подвижности смеси ОК).

Рисунок 3 - Определение расхода цемента и заполнителей

5 . Корр ектировка водопотребности смеси

Hайденнoe соотношение компонентов бетонной смеси подлежит обязательной проверке и при необходимости - корректировке. Проверку и корректировку состава бетона производят расчетно-экспериментальным способом путем приготовления и испытания пробных замесов и контрольных образцов.

На первом этапе проверяют соответствие удобоукладываемости бетонной смеси пробного замеса заданной величине. Если фактический показатель удобоукладываемости смеси вследствие особенностей свойств применяемого цемента и местного заполнителя отличается от заданного Y , то производят корректировку расхода воды В по формулам:

Для пластичной смеси;

Для жесткой смеси.

Затем по формулам (6), (7), (8) пересчитывают состав и приготавливают новый замес для проверки удобоукладываемости смеси. Если она соответствует заданной, то формуют контрольные образцы и определяют фактическую плотность бетонной смеси, а также прочность при сжатии после заданного срока твердения. В противном случае корректировку водопотребности смеси повторяют.

Рисунок 4 - Корректировка водопотребности бетонной смеси

Рисунок 5 - Корректировка расхода цемента и заполнителей

6 . Корректировка состава бетона по фактической плотности бето н ной смеси

Полученное значение плотности бетонной смеси должно совпадать с расчетным (допускаемое отклонение ±2%). Если вследствие повышенного воздухосодержания отклонение больше 2%, т.е. если

где , (В, Щ, Ц и П - проектный расход компонентов на 1 м3 бетона), то определяют фактическое воздухосодержание уплотненной бетонной смеси по формуле

где - фактическая плотность смеси, определяемая непосредственным измерением.

Затем рассчитывают фактический абсолютный объем заполнителей по формуле

а также фактический расход заполнителей - по формулам:

где r - соотношение мелкого и крупного заполнителя по массе в проектном составе бетона.

Рисунок 6 - Корректировка состава бетона по фактической плотности смеси

7 . Корректировка водоцементного отношения

После заданного срока твердения контрольные образцы бетона испытывают на сжатие.

Если действительная прочность бетона при сжатии отличается от заданной более чем на ±15%, в ту и другую сторону, то следует внести коррективы в состав бетона, для повышения прочности увеличивают расход цемента, т.е. Ц /В , для снижения прочности - уменьшает его.

Уточненное значение Ц /В можно подсчитать по формулам:

а) если, то

б) если, то

где - фактическая прочность бетона.

После того как найдено требуемое значение, по формулам (6), (7) и (8) рассчитывают заново состав бетона приготовляют контрольный замес, по которому вновь проверяют все параметры бетона.

Рисунок 7 - Корректировка водоцементного отношения

Рисунок 8 - Корректировка расхода цемента и заполнителей по скорректированному водоцементному отношению

8 . Определение производственного состава бетона и количества м а териалов н а замес бетоносмесителя

На производстве часто применяют при приготовлении бетона влажные заполнители. Количество влаги, содержащейся в заполнителях, должно учитываться при определении производственного состава бетона, который рассчитывают по формулам:

где и - влажности песка и щебня, %.

Расход цемента при данной корректировке состава сохраняется неизменным.

При загрузке цемента и заполнителей в бетоносмеситель их первоначальный объем больше объема получаемой бетонной смеси, так как при перемешивании происходит как бы уплотнение массы: зерна цемента располагаются в пустотах между зернами песка, зерна песка - между зернами щебня. Для оценки объема загрузки бетоносмесителя используют так называемый коэффициент выхода бетона

где, - насыпная плотность соответственно цемента, песка и щебня, причем насыпная плотность заполнителей берется в естественном (влажном) состоянии.

Ориентировочно, в данной работе, можно принять соответственно 1100 кг/м3, 1450 кг/м3 и 1380 кг/м3.

При расчете количества материалов на один замес бетоносмесителя принимают, что сумма объемов цемента, песка и щебня (в рыхлом состоянии) соответствует емкости барабана бетоносмесителя. Тогда объем бетона одного замеса будет равен

,

где - емкость бетоносмесителя.

Расход материалов на один замес определяется по формулам:

; ;

; .

Рисунок 9 - Расчет производственного состава бетона и количества материалов на замес бетоносмесителя

Планирование экспериментов и построение математических моделей зависимостей свойств бетонной смеси и бетона от его состава рекомендуется производить для корректировки состава бетона в процессе его приготовления, при организации производства изделий по новой технологии, а также в случае использования автоматических систем управления технологическим процессом.

Построение математических моделей экспериментальных зависимостей свойств бетона, от его состава включает в себя следующие этапы:

1) уточнение в зависимости от конкретной задачи оптимизируемых параметров (прочности бетона, удобоукладываемости бетонной смеси и др.);

2) выбор факторов, определяющих изменчивость оптимизируемых параметров;

3) определение основного исходного состава бетонной смеси;

4) выбор интервалов варьирования факторов;

5) выбор интервалов варьирования факторов;

6) выбор плана и условий проведения экспериментов;

7) расчет всех составов бетонной смеси в соответствии с выбранным планом и реализация эксперимента;

8) обработка результатов эксперимента с построением математических моделей зависимостей свойств бетонной смеси и бетона от выбранных факторов.

В качестве факторов, определяющих состав бетонной смеси, в зависимости от конкретной задачи могут назначаться В /Ц (Ц /В ) смеси, расход воды (или цемента), расход заполнителей или соотношение между ними r , расходы добавок и т.п.

Основной исходный состав определяется в соответствии с указаниями п.п. 1 - 7. Значения факторов в основном исходном составе называются основными (средними или нулевыми уровнями). Уровни варьирования факторов в эксперименте зависят от вида его планирования. Для упрощения записей и последующих расчетов. Уровни факторов используются в кодированном виде, где «+1» обозначает верхний уровень, «0» - средний, а «-1» - нижний уровень. Промежуточные уровни факторов в кодированном виде рассчитываются по формуле

где х i - значение i -го фактора в кодированном виде; Х i - значение i -го фактора в натуральном виде; Х 0i - основной уровень i -го фактора; Х I - интервал варьирования i -го фактора.

Для построения математических моделей зависимостей свойств бетонной смеси и бетона от его состава рекомендуется применять трехфакторный планированный эксперимент типа В- D 13, который позволяет получать нелинейные квадратичные модели и обладает хорошими статистическими характеристиками.

План этого эксперимента приведен в таблице 4.

Таблица 4 - Планированный эксперимент типа В- D 13

Матрица планирования	Натуральные значения переменных	Свойства бетона (выход)

			В /Ц

Кроме того, для определения воспроизводимости измерений выходных параметров необходимо продублировать опыты (выполнить опытные замесы) не менее трех раз в нулевой точке (все факторы на основном уровне), равномерно распределяя их между остальнымизамесами.

В соответствии с выбранным планом эксперимента рассчитывают5 натуральные значения переменных факторов и составы бетонной смеси в каждом опыте.

Натуральные значения переменных рассчитывают по формуле

и записывают в таблицу 4.

Составы бетонной смеси в каждом опыте рассчитывают по формулам:

где - абсолютный объем заполнителей в 1 м3 бетона, л.

По результатам планированного эксперимента типа В-D13 получают математические модели зависимостей вида

Y=20,67+0,1x1-0.29x2+0,57x3+0,25x12-1,13x22+1,85x32+0,12 x1 x2-0,52x1x3+0,08x2 x3 - уравнение регрессии

Коэффициенты моделей вычисляют с помощью L - матриц по формуле

где - соответствующий элемент L - матрицы.

L - матрица для планированного эксперимента типа В -D 13 приведена в таблице 5.

Таблица 5 - L - матрица для плана В- D 13

После получения математических моделей производят проверки значимости (отличия от нуля) коэффициентов модели и ее адекватности.

Проверку коэффициентов на значимость производят с помощью Стьюдента (t -критерия), который рассчитывают по формуле

где - средняя квадратическая ошибка в определении коэффициентов,

где - дисперсия воспроизводимости в параллельных опытах; С i - величины, приведенные для плана В- D 13 в таблице 6.

Таблица 6 - Величины С i для плана В- D 13

Расчетное значение t - критерия сравнивают с табличным t табл. для выбранного уровня значимости (обычно) и данного числа степеней свободы (- число опытов в нулевой точке).

Если t < t табл., то данный коэффициент считается незначимым, однако отбрасывать соответствующий член уравнения нельзя так как в уравнении (34) все коэффициенты закоррелированы между собой и отбрасывание какого-либо члена требует пересчет модели. Для проверки адекватности модели вычисляют дисперсию адекватности по формуле

где - значение исследуемого свойства бетона в u -том опыте; - значение исследуемого свойства бетона в u -том опыте вычисленное по уравнению (34); m - число значимых коэффициентов, включая b 0 .

Определяют расчетное значение критерия Фишера (F - критерия) по формуле

которое сравнивают с табличным F табл. для числа степеней свободы: и и выбранного уровня значимости (обычно.)

Уравнение считается адекватным, если F <F табл.. В случае положительного результата проверки модели на адекватность ее можно использовать для решения различных задач.

Рисунок 10 - Построение математической модели зависимостей свойств бетонной смеси и бетона, от его состава

Проверка адекватности:

F=0,60921 - расчетное значение кр. Фишера

f1=n-m - первое число степеней свободы

f2=n0-1- второе число степеней свободы

n0 - число опытов в нулевой точке

n=10 - число опытов

n=8 - число значимых коэф-в

Так как значение кр. Фишера (F=0,60921) меньше табличного значения кр. Фишера(Fтабл=199.5), то уравнение считается адекватным.

Рисунок 11 - Построение математической модели зависимостей свойств бетонной смеси и бетона, от его состава (2)

Рисунок 12 - Построение математической модели зависимостей свойств бетонной смеси и бетона, от его состава (3)

Рисунок 13 - Построение математической модели зависимостей свойств бетонной смеси и бетона, от его состава (4)

Рисунок 14 - Построение математической модели зависимостей свойств бетонной смеси и бетона, от его состава (5)

10. Графики зависимости прочности от В/Ц, Ц и R

1) График №1: Зависимость Х1 (расход цемента) от Х2 (В/Ц) при Х3 = 0 (соотношение между мелким и крупным заполнителем R).

При Х3 = 0, уравнение имеет вид:

Самая высокая прочность бетона при неизменном соотношении между мелким и крупным заполнителем Х3 = 0 равна 22,56 МПа.

				Прочность Rb, Мпа

2) График №2: Зависимость Х1 (расход цемента) от Х3 (соотношение между мелким и крупным заполнителем R) при Х2 = 0 (В/Ц).

Самая высокая прочность бетона при неизменном расходе цемента Х2 = 0 равна 23,32 МПа.

Рисунок 18- График зависимости прочности от В/Ц и R

3) График №3: Зависимость Х3 (соотношение между мелким и крупным заполнителем R) от Х2 (В/Ц) при Х1 = 0 (расход цемента).

При Х2 = 0, уравнение имеет вид:

Самая высокая прочность бетона при неизменном В/Ц Х1 = 0 равна 22,25 МПа.

				Прочность Rb, Мпа

Рисунок 20 - График зависимости прочности от Ц и R

Список использованной литературы

1. Вознесенский В.А., Ляшенко Т.В., Огарков Б.Л. Численные методы решения строительно-технологических задач на ЭВМ. - Киев: Выща школа, 1989. -328 с.

2. Баженов Ю.М. Технология бетона. - М.: Высшая школа, 1987. - 415 с.

Размещено на Allbest.ru

...

Подобные документы

Определение водоцементного отношения, водопотребности бетонной смеси, расхода цемента и заполнителей. Построение математических моделей зависимостей свойств бетонной смеси и бетона от состава. Анализ влияния изменчивости состава бетона на его свойства.

курсовая работа , добавлен 10.04.2015

Изучение порядка определения требуемой прочности и расчет состава тяжелого бетона. Построение графика зависимости коэффициента прочности бетона и расхода цемента. Исследование структуры бетонной смеси и её подвижности, температурных трансформаций бетона.

курсовая работа , добавлен 28.07.2013

Назначение марки цемента в зависимости от класса бетона. Подбор номинального состава бетона, определение водоцементного отношения. Расход воды, цемента, крупного заполнителя. Экспериментальная проверка и корректировка номинального состава бетона.

контрольная работа , добавлен 19.06.2012

Определение и уточнение требований, предъявляемых к бетону и бетонной смеси. Оценка качества и выбор материалов для бетона. Расчет начального состава бетона. Определение и назначение рабочего состава бетона. Расчет суммарной стоимости материалов.

курсовая работа , добавлен 13.04.2012

Требования, предъявляемые к опалубке. Методы обеспечения проектного защитного слоя бетона. Проектирование состава бетонной смеси. Конструирование и расчет опалубки. Уход за бетоном, распалубка и контроль качества. Транспорт бетонной смеси к месту укладки.

курсовая работа , добавлен 27.12.2012

Оценка агрессивности водной среды по отношению к бетону. Определение параметров состава бетона I, II и III зон, оптимальной доли песка в смеси заполнителей, водопотребности, расхода цемента. Расчет состава бетонной смеси методом абсолютных объемов.

курсовая работа , добавлен 12.05.2012

Определение водоцементного отношения, расхода воды, цемента, добавки, крупного и мелкого заполнителей, средней плотности свежеуложенного строительного материала и расчетного коэффициента его выхода с целью расчета начального состава тяжелого бетона.

контрольная работа , добавлен 06.02.2010

Подбор и корректировка состава бетона. Характеристика и номенклатура продукции. Расчет длины напрягаемого арматурного стержня. Очистка и смазка форм, уплотнение бетонной смеси, тепловлажностная обработка и режим выдержки изделий, отделка и комплектация.

курсовая работа , добавлен 21.02.2013

Механические свойства бетона и состав бетонной смеси. Расчет и подбор состава обычного бетона. Переход от лабораторного состава бетона к производственному. Разрушение бетонных конструкций. Рациональное соотношение составляющих бетон материалов.

курсовая работа , добавлен 03.08.2014

Требования, предъявляемые к опалубке. Заготовка и монтаж арматуры. Методы обеспечения проектного защитного слоя бетона. Транспорт бетонной смеси к месту укладки. Уход за бетоном, распалубка и контроль качества. Укладка и уплотнение бетонной смеси.

Практически для любой задачи организации, планирования и управления строительством характерна множественность ее возможных решений, зачастую большая неопределенность и динамичность осуществляемых процессов. В процессе разработки плана работы строительной организации, плана возведения объекта строительства приходится сравнивать между собой огромное количество вариантов и выбирать из них оптимальный в соответствии с выбранным критерием. Критерий - это тот показатель, который является мерилом эффективности плана (пути) достижения цели.

Для предварительного анализа и поиска эффективных форм организации, а также планирования и управления строительством используется моделирование.

Моделирование - это создание модели, сохраняющей существенные свойства оригинала, процесс построения, изучения и применения модели. Моделирование является основным инструментом анализа, оптимизации и синтеза строительных систем. Модель - это упрощенное представление некоторого объекта (системы), процесса, более доступное для изучения, чем сам объект.

Моделирование дает возможность проводить эксперименты, анализировать конечные результаты не на реальной системе, а на ее абстрактной модели и упрощенном представлении-образе, привлекая, как правило, для этой цели ЭВМ. При этом необходимо иметь в виду, что модель является лишь орудием исследования, а не средством получения обязательных решений. Вместе с тем она дает возможность выделить наиболее существенные, характерные черты реальной системы. К модели, как и к любой научной абстракции, относятся слова В.И.Ленина: "Мышление, восходя от конкретного к абстрактному, не отходит.. .от истины, а подходит к ней.. .все научные (правильные, серьезные, невздорные) абстракции отражают природу глубже, важнее, полнее" (В.И.Ленин. Поли.собр.соч. Изд. 5-е, т.29, с. 152).

Современное строительство как системный объект характеризуется высокой степенью сложности, динамичностью, вероятностным характером поведения, большим числом составляющих элементов со сложными функциональными связями и другими особенностями. Для эффективного анализа и управления такими сложными системными объектами необходимо иметь достаточно мощный аппарат моделирования. В настоящее время интенсивно ведутся исследования в области совершенствования моделирования строительства, однако практика пока еще располагает моделями с довольно ограниченными возможностями полного адекватного отображения реальных процессов строительного производства. Разработать универсальную модель и единый метод ее реализации в настоящее время практически невозможно. Одним из путей решения данной проблемы является построение локальных экономико-математических моделей и методов их машинной реализации.

В общем случае модели подразделяются на физические и знаковые . Физические модели, как правило, сохраняют физическую природу оригинала.

Для построения знаковых моделей может использоваться, в принципе, любой язык - естественный, алгоритмический, графический, математический. Наибольшее значение и распространение имеют математические модели в силу универсальности, строгости, точности математического языка. Математическая модель представляет собой совокупность уравнений, неравенств, функционалов, логических условий и других соотношений, отражающих взаимосвязи и взаимозависимости основных характеристик моделируемой системы.

Проблема выбора оптимальных решений имеет, применительно к каждой конкретной задаче, свои специфические особенности, а круг таких задач весьма широк. Тем не менее возможно и полезно выделить некоторые характерные черты и вытекающие из них общие подходы к постановке задач оптимизации и поиску наивыгоднейших решений.

Оптимальные решения в технико-экономических задачах должны отбираться не путем использования интуитивных представлений, а, как правило, на основе строгого расчета. Для этого исходную технико-экономическую задачу необходимо соответствующим образом формализовать, т.е. описать с помощью математических выражений характерные для нее связи, зависимости между параметрами.

Совокупность всех этих математических выражений и составляет, вместе с экономической характеристикой входящих в них величин, экономико-математическую модель задачи (объекта исследования, системы). Таким образом, экономико-математическая модель - это математическое описание экономического процесса (объекта, системы).

Теоретические основы экономико-математических методов были разработаны российскими учеными В.С.Немчиновым, Л.В.Канторовичем, В.В.Новожиловым, Н.П.Бусленко. Им же принадлежит заслуга в разработке методологии экономико-математического моделирования и методов количественного подхода к социально-экономическим процессам.

Корректно составленная и предназначенная для практического использования модель должна удовлетворять двум условиям:

Адекватно отражать наиболее существенные черты анализируемого явления, процесса, системы;

Должна быть разрешима, т.е. в описывающей ее системе условий должны отсутствовать математические, экономические, технологические противоречия и иметься эффективные вычислительные алгоритмы для поиска решений. Так как экономико-математическая модель - это всего лишь постановка экономической задачи на математическом языке, то для ее решения необходимо разработать или подобрать из существующих метод решения (алгоритм).

Экономико-математические модели подразделяются на описательные (не содержащие управляемых переменных) и конструктивные, главным образом, оптимизационные (бывают статистическими и динамическими, открытыми, учитывающими внешние воздействия на моделируемый объект, и закрытыми, содержащими управляемые переменные), а по форме представления аналитическими, графоаналитическими, графическими и т.д. Экономико-математические модели являются основой применения математических методов и электронно-вычислительной техники в экономике.

Экономико-математические методы (термин введен В.С.Немчиновым) представляют собой комплекс экономических и математических дисциплин, таких как:

- экономико-статистические методы (экономическая статистика, математическая статистика);

- эконометрия - наука, изучающая конкретные количественные взаимосвязи экономических объектов и процессов (с помощью математических и статистических методов и моделей);

Исследование операций (методы принятия оптимальных решений);

- экономическая кибернетика - отрасль науки, занимающаяся приложением идей и методов кибернетики к экономическим системам.

Использование экономико-математических методов и ЭВМ в целях оптимального планирования и управления строительным производством требует последовательного выполнения ряда ниже перечисленных работ математического, технического, информационного и экономического порядка, таких как:

Разработка экономико-математических моделей;

Подготовка соответствующих алгоритмов и вычислительных схем;

Программирование для электронных вычислительных машин;

Формирование необходимой информации или исходных данных, требующихся для соответствующих расчетов;

Классификация и кодирование объектов для расчетов на ЭВМ;

Анализ полученных результатов и их использование в практической деятельности.

, Расчет тусы на Даче Ивана в День России.pdf , сравнительная характеристика зон россии.docx , Министерство образования и науки России.docx .

Введение

Обзор применения моделей в экономике
1. Исторический обзор
2. Развитие моделирования в России
Основные виды задач, решаемых при организации, планировании и управлении строительством
1. Задачи распределения
2. Задачи замены
3. Задачи поиска
4. Задачи массового обслуживания или задачи очередей
5. Задачи управления запасами (создание и хранение)
6. Задачи теории расписаний
Моделирование в строительстве
1. Основные положения
2. Виды экономико-математических моделей в области организации, планирования и управления строительством
  1. Модели линейного программирования
  2. Нелинейные модели
  3. Модели динамического программирования
  4. Оптимизационные модели (постановка задачи оптимизации)
  5. Модели управления запасами
  6. Целочисленные модели
  7. Цифровое моделирование (метод перебора)
  8. Имитационные модели
  9. Вероятностно - статистические модели
  10. Модели теории игр
  11. Модели итеративного агрегирования
  12. Организационно-технологические модели
  13. Графические модели
  14. Сетевые модели
Организационное моделирование систем управления строительством
1. Основные направления моделирования систем управления строительством
2. Аспекты организационно-управленческих систем (моделей)
3. Деление организационно-управленческие моделей на группы
  1. Модели первой группы
  2. Модели второй группы
4. Виды моделей первой группы
  1. Модели принятия решений
  2. Информационные модели коммуникационной сети
  3. Компактные информационные модели
  4. Интегрированные информационно-функциональные модели
5. Виды моделей второй группы
  1. Модели организационно-технологических связей
  2. Модель организационно-управленческих связей
  3. Модель факторного статистического анализа управленческих связей
  4. Детерминированные функциональные модели
  5. Организационные модели массового обслуживания
  6. Организационно-информационные модели
  7. Основные этапы и принципы моделирования
Методы корреляционно-регрессивного анализа зависимости между факторами, включаемые в экономико-математические модели
1. Виды корреляционно-регрессивного анализа
2. Требования к факторам, включаемым в модель
3. Парный корреляционно-регрессивный анализ
4. Множественный корреляционный анализ

ВВЕДЕНИЕ

Современное строительство - это очень сложная система, в деятельности которой принимает большое количество участников: заказчик, генподрядные и субподрядные строительно-монтажные и специализированные организации; коммерческие банки и финансовые органы и организации ; проектные, а нередко и научно-исследовательские институты; поставщики строительных материалов, конструкций, деталей и полуфабрикатов, технологического оборудования; организации и органы, осуществляющие различные виды контроля и надзора за строительством; подразделения, эксплуатирующие строительную технику и механизмы, транспортные средства и т.д.

Для того, чтобы построить объект, необходимо организовать согласованную работу всех участников строительства.

Строительство протекает в непрерывно меняющихся условиях. Элементы такого процесса связаны между собой и взаимно влияют друг на друга, что усложняет анализ и поиск оптимальных решений.

На стадии проектирования строительной, любой другой производственной системы, устанавливаются ее основные технико-экономические параметры, организационно-управленческая структура, ставится задача определения состава и объема ресурсов - основных фондов , оборотных средств, потребности в инженерных, рабочих кадрах и т.д.

Чтобы вся система строительства действовала целесообразно, эффективно использовала ресурсы, т.е. выдавала готовую продукцию - здания, сооружения, инженерные коммуникации или их комплексы в заданные сроки, высокого качества и с наименьшими затратами трудовых, финансовых, материальных и энергетических ресурсов, надо уметь грамотно, с научной точки зрения, осуществлять анализ всех аспектов ее функционирования, находить наилучшие варианты решений, обеспечивающих ее эффективную и надежную конкурентоспособность на рынке строительных услуг.

В ходе поиска и анализа возможных решений по созданию оптимальной структуры предприятия , организации строительного производства и т.д. всегда появляется желание (требуется) отобрать лучший (оптимальный) вариант. Для этой цели приходится использовать математические расчеты, логические схемы (представления) процесса строительства объекта, выраженные в виде цифр, графиков, таблиц и т.д. - другими словами, представлять строительство в виде модели, используя для этого методологию теории моделирования.

В основе любой модели лежат законы сохранения. Они связывают между собой изменение фазовых состояний системы и внешние силы, действующие на нее.

Любое описание системы, объекта (строительного предприятия, процесса возведения здания и т.д.) начинается с представления об их состоянии в данный момент, называемом фазовым.

Успех исследования, анализа, прогнозирования поведения строительной системы в будущем, т.е. появления желаемых результатов ее функционирования, во многом зависит от того, насколько точно исследователь "угадает" те фазовые переменные, которые определяют поведение системы. Заложив эти переменные в некоторое математическое описание (модель) этой системы для анализа и прогнозирования ее поведения в будущем , можно использовать достаточно обширный и хорошо разработанный арсенал математических методов, электронно-вычислительную технику.

Описание системы на языке математики называется математической моделью, а описание экономической системы – экономико-математической моделью.

Многочисленные виды моделей нашли широкое применение для предварительного анализа, планирования и поиска эффективных форм организации, планирования и управления строительством.

Цель данного учебного пособия – ознакомить в очень сжатой и простой форме студентов строительных ВУЗов и факультетов с арсеналом основных задач, стоящих перед строителями, а также методами и моделями, способствующими прогрессу проектирования, организации и управления строительством и нашедшими широкое применение и повседневной практике.

Мы считаем, что каждый инженер, менеджер, работающий в сфере строительства - на возведении конкретного объекта, в проектном или научно-исследовательском институте, должен иметь представление об основных классах моделей, их возможностях и областях применения

Так как формулировка любой задачи, включая алгоритм ее решения, является в некотором смысле своеобразной моделью и более того, создание любой модели начинается с постановки задачи, мы сочли возможным начать тему моделирования с перечня основных задач, стоящих перед строителями.

Сами математические методы не являются объектом рассмотрения в данном учебном пособии, а конкретные модели и задачи приводятся с учетом их значимости и частоты применения в практике организации , планирования и управления строительством.

В случае создания модели сложных строительных объектов к процессу моделирования и анализа моделей привлекаются программисты, математики, инженеры-системотехники, технологи, психологи, экономисты, менеджеры и другие специалисты, а также используются электронно-вычислительная техника.

Роль технико-экономических расчетов для анализа и прогнозирования деятельности, планирования и управления строительными системами значительна, причем узловыми среди них являются вопросы выбора оптимизации решений. При этом решение представляет собой выбор параметров, характеризующих организацию определенного мероприятия, причем выбор почти полностью зависит от лица, принимающего решение .

Решения могут быть удачными или неудачными, обоснованными и неразумными. Практику, как правило, интересуют решения оптимальные, такие, которые являются по тем или иным причинам предпочтительнее, чем другие.

Выбор оптимальных решений особенно в сложных вероятностных математических системах, к которым относятся строительные системы, немыслим без широкого применения математических методов решения задач и средств вычислительной техники.

Сооружение любого строительного объекта происходит путем выполнения в определенной последовательности большого количества разноплановых работ.

Рассмотрим несколько характерных задач и получим для них математическую формулировку (математическую модель).

Задача 1 (Транспортная задача.)

В городе имеется 2 бетонных завода. Первый выпускает вдень 400 т бетона, а второй - 560 т. Бетон с этих заводов отправляется на 4 стройплощадки. На первую стройплощадку поступает в день 220 т бетона, на вторую - 200 т, на третью - 180 т, на четвертую - 360 т. Стоимость перевозки одной тонны бетона с каждого завода на каждую стройплощадку известна. Требуется так организовать перевозку бетона с заводов на стройплощадки, чтобы суммарная стоимость всех перевозок была минимальной.

От содержательной постановки задачи перейдем к математической. Если обозначить через С ij - стоимость перевозки одной тонны бетона с i - го завода на j- ю стройплощадку (это известные величины), а через х ij - количество тонн бетона, которое нужно перевести с i - го завода на j -ю стройплощадку (это искомые величины), то стоимость всех перевозок будет выражаться функцией

Необходимо найти минимум этой функции, но х ij не независимы, они связаны между собой следующими ограничениями. С первого завода вывозится 400 т бетона, следовательно,

Со второго завода вывозится 560 т, следовательно,

На первую стройплощадку завозится 220 т бетона, следовательно,

Аналогично можно записать для остальных стройплощадок:

Таким образом, х ij должны удовлетворять следующей системы ограничений:

К этим ограничениям необходимо добавить еще х ij > 0 (так как обратно бетон со стройплощадок на заводы не увозится).

Задача математически ставится так: найти минимум функции (5.1) при условии, что её аргументы удовлетворяют системе уравнений (5.2).

Задача 2 (Задача о ресурсах).

В распоряжении бригады имеются следующие ресурсы: 300 кг металла, 100 м 2 стекла, 160 чел.-ч (человеко-часов) рабочего времени. Бригаде поручено изготовлять два наименования изделий - А и В. Цена одного изделия А – 10 р., для его изготовления необходимо 4 кг металла, 2 м 2 стекла и 2 чел.-ч рабочего времени. Цена одного изделия В - 12 р., для его изготовления необходимо 5 кг металла, 1 м 2 стекла и 3 чел.-ч рабочего времени. Требуется так спланировать объем выпуска продукции, чтобы ее стоимость была максимальной.

Получим математическую модель этой задачи. Обозначим через х 1 и х 2 количество изделий А и В, которое необходимо запланировать (это искомые величины).

Полная стоимость запланированной к производству продукции выражается функцией

На х 1 изделий А требуется 4х 1 кг металла, 2х 1 м 2 стекла и 2х 1 чел.-ч рабочего времени. На х 2 изделий В требуется 5х 2 , кг металла, х 2 м 2 стекла и 3х 2

чел.-ч рабочего времени. Следовательно, так как ресурсы заданы, то должны выполняться условия:

4 х 1 +5 х 2 < 300

2 х 1 + х 2 < 100 (5.4)

2 х 1 +3 х 2 <160

Таким образом, нужно найти максимум функции (5.3) при условии, что ее аргументы удовлетворяют системе неравенств (5.4).

Задача 3.

Из листового проката определенной формы необходимо вырезать некоторое количество заготовок двух типов А и В для производства 90 шт. изделий. Для одного изделия требуются 2 заготовки типа А и 10 заготовок типа В . Возможны четыре варианта раскроя одного листа проката. Количество заготовок А и В , вырезаемых из одного листа при каждом варианте раскроя, а также отходы от раскроя указаны в таблице 9.

Какое количество листов проката нужно раскроить при помощи каждого варианта для изготовления 90 шт. изделий, чтобы отходы от раскроя были наименьшими?

Таблица 9 – Исходные данные для задачи 3.

Вариант раскроя	Заготовки, шт.	Отходы от раскроя, ед.
А	В

Пусть х 1 , х 2 , х 3 , x 4 - количество листов проката, раскраиваемых соответственно вариантами 1, 2, 3, 4.

Отходы от раскроя составят

Для производства 90 шт. изделий необходимо 180 заготовок типа А и 900 - типа В . Следовательно, аргументы функции (5.5) должны удовлетворять системе уравнений

4 x 1 + 3 х 2 + х 3 =180 (5.6)

З х 2 + 9 x 3 + 12 x 4 =900

Следовательно, математически задача ставится так: найти минимум функции (5.5) при условии, что ее аргументы удовлетворяют системе уравнений (5.6).

Задача 4.

Необходимо составить наиболее дешевую смесь из трех веществ. В состав смеси должны входить не менее 6 единиц химического вещества А , не менее 8 единиц вещества В и не менее 12 единиц вещества С . Имеются 3 вида продуктов (I, II, III), содержащих эти химические вещества в следующих пропорциях (таблица 10).

Таблица 10 – Исходные данные для задачи 4

Продукты	Вещества
А	В	С
I
II
III		1,5

Стоимость одной весовой единицы продукта 1 - 2 р., продукта II -3 р., продукта III - 2,5 р.

Получим математическую модель задачи.

Обозначим через х 1 , х 2 , х 3 - количество продуктов вида I, II, III соответственно, входящих в смесь.

Стоимость смеси из трех веществ выражается функцией

Система ограничений примет вид

2 x 1 + х 2 + 3 x 3 > 6

х 1 + 2 х 2 + 1,5 х 3 >8 (5.8)

3 х 1 + 4х 2 + 2 х 3 >12

Математически задача ставится так: найти минимум функции (5.7) при условии, что ее аргументы удовлетворяют системе неравенств (5.8).

Задача 5.

В задаче 1 все производственное сырье (бетон) было использовано. Но бывает и так, что часть сырья не используется. Такие задачи называются открытыми. Рассмотрим одну из таких задач.

Имеются 4 хранилища горючего с запасами 500, 300, 500 и 200 т и 3 заправочные станции с потребностями 300, 400 и 300 т. Стоимость перевозок одной тонны горючего из хранилищ в заправочные станции приведена в таблице 11.

Таблица 11 – Исходные данные для задачи 5

Требуется спланировать перевозку горючего так, чтобы затраты были минимальными.

В задаче сумма запасов горючего в хранилищах на 500 т больше, чем потребности на станциях. Поэтому введем фиктивную заправочную станцию В с потребностью в горючем 500 т, равной разности суммы запасов и суммы потребностей. Стоимость перевозок горючего из хранилищ А 1 , А 2 , А 3 , А 4 в фиктивную станцию В 4 назначим равной нулю.

Теперь постановка рассматриваемой задачи не отличается от постановки задачи 1.

Задача 6.

Найти оптимальную массу плоской фермы при выполнении условий прочности (рисунок 22).

Рисунок 22 – Условия прочности к задаче 6

Эта задача не столько экономическая, сколько техническая - задача оптимизации строительных конструкций.

Статически неопределимая шарнирно-стержневая система (ферма) нагружена силой F .

Необходимо выбрать площади поперечных сечений А таким образом, чтобы общая масса М фермы была минимальной.

Длина стержней L , м, известна:

l 1 = 6,3246

l 2 = 6,03 ВС = 2

l 3 = 12 СО = 0,6

l 4 =2,6

Масса фермы определяется формулой

где ρ - удельный вес материала стержней, кг/м 3 .

Выражение (5.9) - функция цели, минимум которой нужно найти.

Систему ограничений составим из условий прочности. Требуется, чтобы во всех стержнях фермы напряжения не превосходили по абсолютной величине расчетного сопротивления материала стержней R (одинакового на растяжение и сжатие).

Следовательно, система ограничений представляется в виде двух неравенств

Первое неравенство в (5.11) означает, что стержень работает на сжатие, второе - на растяжение. Так как стержни 1 и 4 работают только на сжатие, а 2 - только на растяжение, то систему (5.11) можно записать в виде

Исходя из условий равновесия в узлах фермы, получим три уравнения с четырьмя неизвестными:

Подставляя эти выражения в неравенства (5.12) и вводя дополнительные переменные у , получим систему ограничений в виде равенств:

y 1 – RA 1 +1,5812N 4 =-1,5812F

y 2 – RA 2 -5,025N 4 =0

y 3 – RA 3 -6,5N 4 =1,5F (5.13)

y 4 – RA 3 +6,5N 4 =-1,5F

y 5 – RA 4 -N 4 =0

Таким образом, математически задача ставится так: найти минимум функции (5.9) при условии, что ее аргументы удовлетворяют системе ограничений (5.13).

Таким образом, для различных производственных задач получается одна и та же математическая модель, которая состоит в следующем.

Нужно найти экстремум некоторой функции, аргументы которой удовлетворяют некоторой системе уравнений или неравенств. Такие задачи получили название задач математического программирования.

Функция, глобальный экстремум которой находится, называется функцией цели, а условия, налагаемые на ее аргументы, называются системой ограничений.

Естественными называются ограничения, при которых все аргументы функции цели считаются неотрицательными.

Канонической формой задачи математического программирования считается такая форма, когда находится глобальный минимум функции цели и система ограничений, исключая естественные, выражается равенствами.

Различают следующие виды математического программирования: линейное, нелинейное, динамическое и др.

Математическое программирование называется линейным, если функция цели и система ограничений линейны относительно всех аргументов.

В противном случае математическое программирование называется нелинейным.

Математическое программирование называется динамическим, если условия рассматриваемой задачи зависят от времени.

Область возможного изменения аргументов функции цели, определяемая системой ограничений, называется областью допустимых значений аргументов. Следовательно, минимум функции цели нужно искать в точках, принадлежащих этой области. Можно показать, что в случае линейного программирования областью допустимых значений аргументов будет:

при 2 аргументах - выпуклый многоугольник, так как система ограничений в этом случае (графически) - это система прямых линий (рисунок 23);

Рисунок 23 – Область допустимых значений при двух аргументах

при 3 аргументах – выпуклый многогранник;

при n > 3 аргументов – это выпуклый гипермногогранник.

В математическом программировании речь идет о нахождении глобального экстремума функции цели. Этот экстремум может быть внутри или на границе области допустимых значений аргументов.

Можно показать, что в случае линейного программирования, если глобальный экстремум функции цели существует, то он имеет место только в вершинах многоугольника, многогранника и гипермногогранника.

Дадим общую формулировку задачи линейного программирования в канонической форме. Требуется найти глобальный минимум линейной функции n аргументов (функции цели)

при условии, что аргументы этой функции удовлетворяют следующей совместной (имеющей решение), неопределенной (имеющей множество решений) системе линейных алгебраических уравнений,

a 11 x 1 +a 12 x 2 +…+a 1n x n =b 1

a 21 x 1 +a 22 x 2 +…+a 2 n x n =b 2 (5.15)

…....................................

a m 1 x 1 +a m 2 x 2 +…+a mn x n =b m

ранг матрицы которой r < n .

(Ранг матрицы – это наивысший порядок отличного от нуля определителя, который можно из этой матрицы составить.) Ранг матрицы равен числу основных, базисных неизвестных. Будем считать, что все b k > 0 . Занумеруем неизвестные так, чтобы свободными неизвестными были первые р неизвестных (р = n – r) . Тогда прочие r неизвестных, называемых базисными, можно выразить из системы (5.15):

x p +1 =β 1 + α 12 x 1 + α 12 x 2 +…+α 1 p x p

x p +2 =β 2 + α 21 x 1 + α 22 x 2 +…+α 2 p x p (5.16)

…................................................

x p + r =β r + α r 1 x 1 + α r 2 x 2 +…+α rp x p

Система (5.16) называется базисной системой ограничений.

Подставив (5.16) в выражение (5.14) вместо базисных неизвестных, получим функцию цели в базисной форме

Задание функции цели в виде (5.17), а системы ограничений в виде (5.16) называется базисной формой задачи линейного программирования (такая форма задачи линейного программирования нужна для симплекс-метода).

Упорядоченная совокупность n величин (х 1 , х 2 , …, x n) , удовлетворяющая системе ограничений (5.15) или (5.16), называется допустимым решением (планом).

Допустимое решение, у которого все свободные неизвестные равны нулю, называется допустимым базисным решением, или опорным планом (это как раз вершины многоугольника, многогранника, гипермногогранника). Упорядоченная совокупность n величин (х 1 х 2 , …,х n) , удовлетворяющая системе ограничений (5.15) или (5.16) и дающая глобальный экстремум функции цели (5.14) или (5.17) называется оптимальным решением (планом).

Известно, что оптимальный план, если он существует, принадлежит множеству опорных планов.

Число опорных планов конечно. Оно равно С (числу сочетаний из n по р ). Но, например, число С 20 50 = 10 20 – очень большое, перебор всех опорных планов провести трудно, поэтому такой перебор нереален.

Американским экономистом Дж. Данцигом был предложен метод направленного перебора опорных планов, при котором функция цели все время уменьшается. Такой метод получил название симплекс-метода. При таком направленном переборе нужно провести не более 2n переборов опорных планов.

Изложим методику применения симплекс-метода в общем виде.

1 Систему ограничения вида (5.15) следует привести к базисной форме по правилам линейной алгебры.

2 Положив в базисной системе уравнений все свободные неизвестные равными нулю, нужно найти значения базисных неизвестных. Если эти значения будут неотрицательными, то первый исходный план будет опорным. В противном случае следует выбрать другие свободные неизвестные так, чтобы исходный план был опорным.

3 В выражении функции цели базисные неизвестные нужно заменить их выражениями из базисной системы уравнений.

4 Положив в найденном выражении функции цели все свободные неизвестные равными нулю, найдем значение функции цели, соответствующее выбранному опорному плану.

5 Если все коэффициенты при свободных неизвестных в функции цели неотрицательные, то найденный опорный план будет оптимальным, а найденное значение функции цели будет искомым глобальным ее минимумом.

6 Если же не все коэффициенты при свободных неизвестных функции цели будут неотрицательными, то нужно выбрать свободную неизвестную с отрицательным коэффициентом, например, x α (обычно берется неизвестная с максимальным по модулю отрицательным коэффициентом). Далее положить в базисной системе уравнений все свободные неизвестные, кроме х α , равными нулю и определить максимально возможное значение х α , при котором все базисные неизвестные неотрицательные.

7 Ту из базисных неизвестных, например, х β , которая обращается в нуль при указанном значении x α , следует выбрать за свободную неизвестную вместо x .

Неизвестную же x α перевести в разряд базисных.

В математическом обеспечении ЭВМ есть стандартная программа решения задач линейного программирования по симплекс-методу.