Презентация "симметрия ". Презентация - центральная симметрия Презентация осевая и центральная симметрия треугольника

Слайд 1

Подготовили ученики X «А» класса: Зацепина Екатерина, Павлова Юлия.

Центральная симметрия.

Слайд 2

Слайд 3

Приведём примеры фигур, обладающие центральной симметрией: Простейшими фигурами, обладающими центральной симметрией, является окружность и параллелограмм. Центром симметрии окружности является центр окружности,а центром симметрии параллелограмма - точка пересечения его диагоналей.

Слайд 4

Две точки А и В называются симметричными относительно точки О, если О - середина отрезка АВ. Точка О считается симметричной самой себе.

Слайд 5

Например: На рисунке точки М и М1, N и N1 симметричны относительно точки О, а точки Р и Q не симметричны относительно этой точки.

М М1 N N1 Р Q

Слайд 6

Центральная симметрия в прямоугольной системе координат:

Если в прямоугольной системе координат точка А имеет координаты (x0;y0), то координаты (-x0;-y0) точки А1, симметричной точке А относительно начала координат, выражаются формулами x0 = -x0 y0 = -y0

у х 0 А(x0;y0) А1(-x0;-y0) x0 -x0 y0 -y0

Слайд 7

Слайд 8

Слайд 9

Слайд 10

Слайд 11

Точка О является центром симметрии, если при повороте вокруг точки О на 180° фигура переходит сама в себя.

Слайд 12

Прямая также обладает центральной симметрией, однако в отличие от других фигур, которые имеют только один центр симметрии(точка О на рисунках), у прямой их бесконечно много - любая точка прямой является её центром симметрии. Примером фигуры, не имеющей центра симметрии, является треугольник.

Слайд 13

Применение на практике: Примеры симметрии в растениях:

Вопрос о симметрии в растениях возник ещё в 5 веке до н. э. На явление симметрии в живой природе обратили внимание в Древней Греции пифагорейцы в связи с развитием ими учения о гармонии. В 19 веке появлялись отдельные работы, касающиеся этой темы. А в 1961 году как результат многовековых исследований, посвященных поиску красоты и гармонии окружающей нас природы, появилась наука биосимметрика. Центральная симметрия характерна для различных плодов: голубика, черника, вишня, клюква. Рассмотрим разрез любой из этих ягод. В разрезе она представляет собой окружность, а окружность, как нам известно, имеет центр симметрии. Центральную симметрию можно наблюдать на изображении таких цветов как цветок одуванчика, цветок мать-и-мачехи, цветок кувшинки, сердцевина ромашки, а в некоторых случаях центральной симметрией обладает и изображение всего цветка ромашки. Её сердцевина представляет собой окружность, и поэтому центрально симметрична, так как мы знаем, что окружность имеет центр симметрии. Весь же цветок обладает центральной симметрией только в случае четного количества лепестков. В случае же нечетного количества лепестков, вспомните анютины глазки, он обладает только осевой. Выводы: По нашим наблюдениям, в любом растении можно найти какую-то его часть, обладающую осевой или центральной симметрией. Это могут быть листья, цветы, стебли, стволы деревьев, плоды, и более мелкие части, такие как сердцевина цветка, пестик, тычинки и другие. Осевая симметрия присуща различным видам растений и грибам, и их частям. Центральная симметрия наиболее характерна для плодов растений и некоторых цветов.

Слайд 14

Слайд 15

Центральная симметрия в архитектуре:

Во второй половине XVIII - первой трети XIX века Петербург приобрёл воспетый А.С. Пушкиным “строгий, стройный вид”, который придала городу архитектура классицизма. Все здания, построенные в стиле классицизм, имеют четкие прямолинейные симметричные композиции. В начале XIX века по проекту А.Н. Воронихина было сооружено выдающееся произведение искусства – Казанский собор. Перед Казанским собором симметрично установлены памятники М.И. Кутузову и М.Б. Барклаю-де-Толли, полководцам, разгромившим армию Наполеона. Примером современных зданий, построенных в середине ХХ века, является гостиница “Прибалтийская”. Симметричность, как видно из чертежа присутствует как в общей композиции, так и в каждой из трех его составляющих:средняя часть – арка с куполом и пикой на вершине, два боковых крыла гостиницы. Выводы: Принципы симметрии являются основополагающими для любого архитектора, но вопрос о соотношении между симметрией и асимметрией каждый архитектор решает по-разному. Асимметричное в целом сооружение может являть собой гармоническую композицию симметричных элементов. Удачное решение определяется талантом зодчего, его художественным вкусом и его пониманием прекрасного. Прогуляйтесь по нашему городу и убедитесь, что удачных решений может быть очень много, но неизменным остается одно – стремление архитектора к гармонии, а это в той или иной степени связано с симметрией.

Слайд 16

Гостиница «Прибалтийская»

Казанский собор

Слайд 17

Центральная симметрия в зоологии:

Рассмотрим, как связаны животный мир и симметрия. Центральная симметрия наиболее характерна для животных, ведущих подводный образ жизни. А также есть пример асимметричных животных: инфузория-туфелька и амёба Выводы: Симметрию живого существа определяет направление его движения. Для живых существ, для которых ведущим направлением является направление движения “вперед”, наиболее характерна осевая симметрия. Так как в этом направлении животные устремляются за пищей и в этом же спасаются от преследователей. А нарушение симметрии привело бы к торможению одной из сторон и превращению поступательного движения в круговое. Центральная симметрия чаще встречается в форме животных, обитающих под водой. Асимметрию можно наблюдать на примере простейших животных.

Слайд 18

Слайд 19

Слайд 20

Центральная симметрия в транспорте:

Центральная симметрия не совместима с формой наземного и подземного транспорта. Причиной этого служит его направление движения. При рассмотрении вида сверху трамвая, электровоза, телеги, мы видим, что ось симметрии проходит вдоль направления движения. Таким образом, центральную симметрию следует искать в воздушном и подводном транспорте, т. е. в таких видах, где направления: вперед, назад, вправо, влево, – равноценны. Один из таких видов транспорта – это воздушный шар. Другой пример воздушного транспорта – это парашют. Ученые относят его изобретение еще к 13 веку. На нашем чертеже мы представили вид сверху воздушного шара. Отметим, что он аналогичен виду сверху парашюта. Как мы видим, эта фигура центрально симметрична. О – центр симметрии. Дальнейшее развитие парашют получил в изобретении нашими учеными “надувного тормозного устройства”. Оно предназначено для спуска грузов и человека с орбиты. Надувное тормозное устройство представляет собой эластичную оболочку, наполняемую в космосе. Она имеет гибкую теплозащиту и дополнительную надувную оболочку. На базе него предполагается конструирование и спасательных устройств, которые могут использоваться, например, при пожаре в многоэтажных домах. Вид сверху этого устройства представляет собой круг. А круг, как мы знаем, не только обладает осевой симметрией, но и центральной. Центр симметрии совпадает с центром круга. Выводы: Вид сверху и вид спереди различных видов транспорта обладает либо центральной, либо осевой симметрией. Для наземного вида транспорта в большей степени характерна осевая симметрия. Причиной этого является направление его движения. Центральная симметрия чаще встречается в форме воздушного и подводного транспорта, для которого направления: вправо, влево, вперед, назад, – равноценны. Модели транспорта будущего в той же степени, что и модели настоящего и прошлого обладают различными видами.

Слайд 21

Надувное тормозное устройство

Капсула поезда

Парашют (вид сверху)

Слайд 22

Слайд 23

Аксиомы стереометрии и планиметрии

Подготовила: ученица Х «А» класса Зацепина Екатерина.

Слайд 24

Слайд 25

Аксиома 1(С1): Какова бы ни была плоскость, существуют точки, принадлежащие этой плоскости, и точки, не принадлежащие ей.

А α , В α α Α в Э

Слайд 26

Аксиома 2(С2): Если две различные плоскости имеют общую точку, то они пересекаются по одной прямой, проходящей через эту точку.

β А α А β } α β = m U m

Слайд 27

Аксиома 3(С3): Если две различные прямые имеют общую точку, то через них можно провести плоскость, и притом только одну.

a b = d a, b, d α d a

Слайд 28

Содержание Центральная симметрия Центральная симметрия Центральная симметрия Центральная симметрия Задачи ЗадачиЗадачи Построение Построение Построение Центральная симметрия в окружающем мире Центральная симметрия в окружающем мире Центральная симметрия в окружающем мире Центральная симметрия в окружающем мире Заключение Заключение Заключение

Задачи 1. Отрезок АВ, перпендикулярный прямой с, пересекает ее в точке О так, что АООВ. Симметричны ли точки А и В относительно точки О? 2. Имеют ли центр симметрии: а) отрезок; б) луч; в) пара пересекающихся прямых; г) квадрат? А В С О 3. Постройте угол, симметричный углу ABC относительно центра О. Проверь себя

5. Для каждого из случаев, представленных на рисунке, постройте точки А 1 и В 1, симметричные точкам А и В относительно точки О. В А А В АВ О О О О С МР 4. Постройте прямые, на которые отображаются прямые a и b при центральной симметрии с центром О. Проверь себя Помощь

7. Постройте произвольный треугольник и его образ относительно точки пересечения его высот. 8. Отрезки АВ и А 1 В 1 центрально симметричны относительно некоторого центра С. Постройте с помощью одной линейки образ точки М при этой симметрии. А В А1А1 В1В1 М 9. Найти на прямых a и b точки, симметричные относительно друг друга. a b O Проверь себя Помощь

Заключение Симметрию можно обнаружить почти везде, если знать, как ее искать. Многие народы с древнейших времен владели представлением о симметрии в широком смысле – как об уравновешенности и гармонии. Творчество людей во всех своих проявлениях тяготеет к симметрии. Посредством симметрии человек всегда пытался, по словам немецкого математика Германа Вейля, «постичь и создать порядок, красоту и совершенство».

Слайд 2

А В О Центральная симметрия – это отображение пространства на себя, при котором любая точка переходит в симметричную ей точку, относительно центра О. Точка О называется центром симметрии фигуры. Две точки А и В называютсясимметричными относительно точки О, если О - середина отрезка АВ. Точка О считается симметричной самой себе. На рисунке точки М и М1, N и N1 симметричны относительно точки О, а точки Р и Q не симметричны относительно этой точки. М М1 N N1 О Р Q

Слайд 3

Теорема. Центральная симметрия – движение.

Доказательство: Пусть при центральной симметрии с центром в точке О точки X и Y отобразились на X" и Y". Тогда, как ясно из определения центральной симметрии, OX" = -OX, OY" = -OY. Вместе с тем XY = OY - OX, X"Y" = OY" - OX" Поэтому имеем: X"Y" = -OY + OX = -XY Отсюда выходит, что центральная симметрия является движением, изменяющим направление на противоположное и наоборот, движение, изменяющее направление на противоположное, есть центральная симметрия. Y" Y X" X O Свойство центральной симметрии: центральная симметрия переводит прямую (плоскость) в себя или в параллельную ей прямую (плоскость).

Слайд 4

Центральная симметрия в прямоугольной системе координат.

Слайд 5

Примеры из жизни.

Простейшими фигурами, обладающими центральной симметрией, является окружность и параллелограмм. Центром симметрии окружности является центр окружности, а центром симметрии параллелограмма точка пересечения его диагоналей. Центральная симметрия встречается в форме воздушного и подводного транспорта (воздушный шар, парашют), архитектуре, технике, искусстве и быту. Центральная симметрия наиболее характерна для плодов растений и некоторых цветов(голубика, черника, вишня, цветок мать-и-мачехи, цветок кувшинки), а также для животных, ведущих подводный образ жизни (амёба). О О

Слайд 6

Одним из самых красивых примеров центральной симметрии является снежинка. Центральную симметрию имеют многие геометрические тела. К ним следует отнести все правильные многогранники (за исключением тетраэдра), все правильные призмы с четным числом боковых граней, некоторые тела вращения (эллипсоид, цилиндр, гиперболоид, тор, шар). Куб Октаэдр Икосаэдр Додекаэдр Три различных гиперболоида

Слайд 7

Примеры решения задач.

Дано:ABCD - параллелограмм, треугольники ABM, BCK, CDP, DAH - правильные Доказать:KPHM - параллелограмм Решение: Рассмотрим центральную симметрию (поворот на 180 градусов) относительно точки O. Пусть f - центральная симметрия. f(B) = D, f(A) = C, f(D) = B, f(C) = A. При центральной симметрии f треугольник BCK (правильный) перейдет в равный ему треугольник DAH (правильный), по свойствам осевой симметрии (углы сохраняются). Аналогично треугольник AMB переходит в треугольник CPD. f(M) = P, f(K) = H, отсюда KO = OH, MO = OP, по признаку параллелограмма, KPHM – параллелограмм.

Слайд 8

Дано:угол ABC, точка D Построитьотрезок с концами на сторонах данного угла, середина которого находилась бы в точке D Решение: Построим точку B" симметричную точке B. Пусть D - центр симметрии, BD = DB". Проведём прямую A"B", параллельную прямой BC и прямую B"C", параллельную прямой AB. Прямые A"B" и B"C" симметричны прямым ВС и AB соответственно относительно точки D. Значит, точка A" симметрична точке C" относительно точки D. Отсюда следует, что A"D = DC".

Посмотреть все слайды

Презентация «Движения. Центральная симметрия» является наглядным пособием для ведения урока математики по данной теме. С помощью пособия учителю легче сформировать представление ученика о центральной симметрии, научить применять знания о данном понятии при решении задач. В ходе презентации дается наглядное представление центральной симметрии, определение понятия, отмечаются свойства симметрии, описывается пример решения задачи, в которой используются полученные теоретические знания.

Понятие движения является одним из наиболее важных математических понятий. Рассматривать его без наглядного представления невозможно. Презентация - лучший способ наиболее понятно и выгодно представить учебный материал по данной теме. В презентации содержатся иллюстрации, которые помогают быстрее сформировать представление о центральной симметрии, анимация, улучшающая наглядность демонстрации и обеспечивающая последовательную подачу учебного материала. Пособие может сопровождать объяснение учителя, помогая ему быстрее достичь учебных целей и задач, способствуя повышению эффективности обучения.

Демонстрация начинается с представления понятия центральной симметрии на плоскости. На рисунке изображена плоскость α, на которой отмечена точка О, относительно которой рассматривается симметрия. От точки о в одну сторону отложен отрезок АО, равный которому А 1 О отложен в противоположную сторону от центра симметрии. На рисунке видно, что построенные отрезки лежат на одной прямой. На втором слайде понятие рассматривается более детально на примере точки. Отмечается, что центральная симметрия представляет собой процесс отображения некоторой точки К в точку К 1 и обратно. На рисунке демонстрируется подобное отображение.

На слайде 3 вводится определение центральной симметрии как отображения пространства, характеризующееся переходом каждой точки геометрической фигуры в симметричную относительно выбранного центра. Определение проиллюстрировано рисунком, на котором изображено яблоко и отображение каждой его точки в соответствующую точку, симметричную по отношению к некоторой точке на плоскости. Таким образом, получаем симметричное изображение яблока на плоскости относительно данной точки.

На слайде 4 понятие центральной симметрии рассматривается в координатах. На рисунке изображается пространственная прямоугольная система координат Оxyz. В пространстве отмечена точка М{x;y;z}. Относительно начала координат М симметрично отображается и переходит в соответствующую М 1 {x 1 ;y 1 ;z 1 }. Демонстрируется свойство центральной симметрии. Отмечается, что среднее арифметическое соответствующих координат данных точек М{x;y;z}, М 1 {x 1 ;y 1 ;z 1 } равно нулю, то есть (x+ x 1)/2=0; (y+ y 1)/2=0; (z+z 1)/2=0. Это равносильно тому, что x=-x 1 ; y=-y 1 ; z=-z 1 . Также отмечается, что данные формулы будут верны и при совпадении точки с началом координат. Далее доказывается равенство расстояний, которые между точками, симметрично отраженных относительно центра симметрии - некоторой точки. Для примера указываются некоторые точки А{x 1 ;y 1 ;z 1 } и В{x 2 ;y 2 ;z 2 }. Относительно центра симметрии данные точки отображаются в некоторые точки с противоположными координатами А{-x 1 ;-y 1 ;-z 1 } и В{-x 2 ;-y 2 ;-z 2 }. Зная координаты точек и формулу для нахождения расстояний между ними определяем, что АВ=√(x 2 -x 1) 2 +(y 2 -y 1) 2 +(z 2 -z 1) 2), а для отображенных точек А 1 В 1 =√(-x 2 +x 1) 2 +(-y 2 +y 1) 2 +(-z 2 +z 1) 2). Учитывая свойства возведения в квадрат, можно отметить справедливость равенства АВ=А 1 В 1 . Сохранение расстояний между точками при центральной симметрии свидетельствует о том, что она является движением.

Описывается решение задачи, в которой рассматривается центральная симметрия относительно О. На рисунке изображена прямая, на которой выделены точки М, А, В, центр симметрии О, прямая, параллельная данной, на которой лежат точки М 1 , А 1 и В 1 . Отрезок АВ отображается в отрезок А 1 В 1 , точка М - в точку М 1 . Для данного построение отмечается равенство расстояний, которое обусловлено свойствами центральной симметрии: ОА=ОА 1 , ∠АОВ=∠А 1 ОВ 1 , ОВ=ОВ 1 . Равенство двух сторон, углов означает, что соответствующие треугольники равны ΔАОВ=ΔА 1 ОВ 1 . Также указывается, что углы ∠АВО=∠А 1 В 1 О как накрест лежащие при прямых А 1 В 1 и АВ, поэтому отрезки АВ и А 1 В 1 являются параллельными между собой. Далее доказывается, что прямая при центральной симметрии отображается в параллельную прямую. Рассматривается еще одна точка М, принадлежащая прямой АВ. Так как образующиеся при построении углы ∠МОА=∠М 1 ОА 1 равны как вертикальные, а ∠МАО=∠М 1 А 1 О равны как накрест лежащие, а согласно построению отрезки ОА=ОА 1 , то треугольники ΔМАО=ΔМ 1 А 1 О. Из этого следует сохранения расстояния МО= М 1 О.

Соответственно, можно отметить переход точки М в М 1 при центральной симметрии, и переход М 1 в точку М при центральной симме6трии относительно О. прямая при центральной симметрии переходит в прямую. На последнем слайде можно на практическом примере рассмотреть центральную симметрию, при которой каждая точка яблока и все его линии отображаются симметрично, получая перевернутое изображение.

Презентация «Движения. Центральная симметрия» может применяться для повышения эффективности традиционного школьного урока математики по данной теме. Также данный материал может успешно использоваться для улучшения наглядности объяснения учителя при дистанционном обучении. Ученикам, недостаточно хорошо усвоившим тему, пособие поможет получить более четкое представление об изучаемом предмете.

Слайд 1

Выполнил ученик: 8 класса Рогожин Данила Проверила: Муравьёва Валентина Владимировна
Центральная симметрия.

Слайд 2

Центральная симметрия.
Определение: Фигура называется симметричной относительно точки О, если для каждой точки фигуры симметричная ей точка относительно точки О также принадлежит этой фигуре. Точка О называется центром симметрии фигуры. Говорят также, что фигура обладает центральной симметрией.

Слайд 3

Слайд 4

А
В
О
Две точки А и В называются симметричными относительно точки О, если О - середина отрезка АВ. Точка О считается симметричной самой себе.

Слайд 5

Например: На рисунке точки М и М1, N и N1 симметричны относительно точки О, а точки Р и Q не симметричны относительно этой точки.
М
М1
N
N1
О
Р
Q

Слайд 6

Центральная симметрия в прямоугольной системе координат:
Если в прямоугольной системе координат точка А имеет координаты (x0;y0), то координаты (-x0;-y0) точки А1, симметричной точке А относительно начала координат, выражаются формулами x0 = -x0 y0 = -y0
у
х
0
А(x0;y0)
А1(-x0;-y0)
x0
-x0
y0
-y0

Слайд 7

Центральная симметрии в прямоугольных трапециях:
О

Слайд 8

Центральная симметрия в квадратах:
О

Слайд 9

Центральная симметрия в параллелограммах:
О

Слайд 10

Центральная симметрия в шестиконечной звезде:
О

Слайд 11

Точка О является центром симметрии, если при повороте вокруг точки О на 180° фигура переходит сама в себя.
О
180°

Слайд 12

Слайд 13

Применение на практике: Примеры симметрии в растениях:
Вопрос о симметрии в растениях возник ещё в 5 веке до н. э. На явление симметрии в живой природе обратили внимание в Древней Греции пифагорейцы в связи с развитием ими учения о гармонии. В 19 веке появлялись отдельные работы, касающиеся этой темы. А в 1961 году как результат многовековых исследований, посвященных поиску красоты и гармонии окружающей нас природы, появилась наука биосимметрика. Центральная симметрия характерна для различных плодов: голубика, черника, вишня, клюква. Рассмотрим разрез любой из этих ягод. В разрезе она представляет собой окружность, а окружность, как нам известно, имеет центр симметрии. Центральную симметрию можно наблюдать на изображении таких цветов как цветок одуванчика, цветок мать-и-мачехи, цветок кувшинки, сердцевина ромашки, а в некоторых случаях центральной симметрией обладает и изображение всего цветка ромашки. Её сердцевина представляет собой окружность, и поэтому центрально симметрична, так как мы знаем, что окружность имеет центр симметрии. Весь же цветок обладает центральной симметрией только в случае четного количества лепестков

Слайд 14

Слайд 15

Гостиница «Прибалтийская»
Казанский собор

Слайд 16

Центральная симметрия в зоологии:
Рассмотрим, как связаны животный мир и симметрия. Центральная симметрия наиболее характерна для животных, ведущих подводный образ жизни. А также есть пример асимметричных животных: инфузория-туфелька и амёба Выводы: Симметрию живого существа определяет направление его движения. Для живых существ, для которых ведущим направлением является направление движения “вперед”, наиболее характерна осевая симметрия. Так как в этом направлении животные устремляются за пищей и в этом же спасаются от преследователей. А нарушение симметрии привело бы к торможению одной из сторон и превращению поступательного движения в круговое. Центральная симметрия чаще встречается в форме животных, обитающих под водой. Асимметрию можно наблюдать на примере простейших животных.